Die Menge der reellen Zahlen ist die Vereinigung der Menge der rationalen Zahlen ℝ und der irrationalen Zahlen (alle nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalzahlen).

Die Menge der reellen Zahlen beinhaltet also alle Zahlen, die wir auf der Zahlengerade finden können.

Quadratwurzeln

Mit √𝑎 (𝑎 ≥ 0) wird diejenige nichtnegative Zahl bezeichnet, die mit sich selbst multipliziert 𝑎 ergibt.
√𝑎 heisst Quadratwurzel von 𝑎.

Beispiel: √9 ⋅ √9 = 9 (also gilt √9 = 3)

Es gelten die folgenden Rechenregeln:

√𝑥⋅𝑦 = √𝑥⋅√𝑦        für alle 𝑥,𝑦 ≥ 0
√(𝑥/𝑦) = √𝑥 / √𝑦      für alle 𝑥 ≥ 0, 𝑦 > 0

Wurzeln teilweise ziehen

Nicht immer lässt sich die Wurzel ziehen, so dass man eine ganze Zahl erhält.
Manchmal ist es jedoch möglich, die Wurzel teilweise zu ziehen, indem man den Radikand in ein Produkt aus Quadratzahl und weiterer Zahl zerlegt.

Nenner wurzelfrei machen

Um im Nenner keine Wurzel stehen zu haben, kann man mit dem Nenner erweitern.

Aufgabe
Berechnen Sie.
a) √3 ⋅ √27 b) √1440 c) √75 : √3

Hierarchie der Rechenregeln

          Stufe 1:  ( · )     (Klammern)
          Stufe 2:     n     (Potenzieren)
          Stufe 3:   ·    :   (Multiplikation/Division)
          Stufe 4:  +   −  (Addition/Subtraktion)

Bei Operationen derselben Stufe wird von links nach rechts ausgewertet.

Beispiel: 3 + 7 · 2³ = 3 + 7 · 6 = 3 + 42 = 45

Aufgabe
Berechnen Sie.
a) 4⋅ (5 – 2)² b) 40 : 2 (3 – 1)