Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge aller Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, und ist definiert als ℚ = { 𝑝/𝑞 ∣ 𝑝 ∈ ℤ und 𝑞 ∈ ℕ}.
Bei einem Bruch 𝑝/𝑞 nennt man die Zahl 𝑝 den Zähler und 𝑞 den Nenner.
Achtung: Der Nenner muss immer verschieden von Null sein, denn durch Null darf man nicht teilen!
Der Kehrwert eines Bruches 𝑝/𝑞 ist 𝑞/𝑝. Es werden also Zähler und Nenner vertauscht.
Brüche vergleichen
Um Brüche vergleichen zu können, müssen die Bruchzahlen auf einen gleichen Nenner gebracht werden. Deshalb müssen wir Brüche kürzen und erweitern können.
Kürzen
Beim Kürzen eines Bruchs werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (ungleich null) dividiert.
Ein Bruch heisst vollständig gekürzt, wenn man ihn nicht weiter kürzen kann. Kürzt man einen Bruch mit dem ggT des Zählers und des Nenners, so ist er vollständig gekürzt.
Beispiel:
Welcher Bruch ist grösser: 12/42 oder 21/49?
ggT(12, 42) = 6
12/42 = (12:6)/(42:6)
= 2/7
die Brüche werden mit dem ggT vom Zähler und Nenner gekürzt
somit gilt 12/42 < 21/49
ggT(21, 49) = 7
21/49 = (21:7)/(49:7)
= 3/7
Erweitern
Beim Erweitern eines Bruchs werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (ungleich null) multipliziert.
Möchte man zwei Brüche vergleichen, müssen sie gleichnamig gemacht werden. Der kleinste gemeinsame Nenner ist das kgV der Nenner der beiden Brüche.
Beispiel:
Welcher Bruch ist grösser: 3/16 oder 5/24?
3/16
3/16 = (3∙3)/(16∙3)
= 9/48
kgV(16, 24) = 48
die Brüche werden auf den
Nenner 48 erweitert
somit gilt 3/16 < 5/24
5/24
5/24 = (5∙2)/(24∙2)
= 10/48
Aufgabe
Welcher Bruch ist jeweils grösser?
a) 12/15 oder 33/42 b) 16/56 oder 9/33
Grundrechenarten von Brüchen
Um sich Rechenaufwand zu ersparen, kürzt man die Brüche wenn möglich zu Beginn.
Addition und Subtraktion
Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen werden die Nenner zunächst gleichnamig gemacht. Bei der Addition addiert man die Zähler, bei der Subtraktion subtrahiert man sie. Der gemeinsame Nenner bleibt gleich.
𝑎/𝑏 + 𝑐/𝑑 = 𝑎𝑑/𝑏𝑑 + 𝑏𝑑/𝑏𝑑 = (𝑎𝑑 + 𝑏𝑑)/𝑏𝑑
Multiplikation und Division
Werden zwei vollständig gekürzte Brüche miteinander multipliziert, sollte vorher (wenn möglich) übers Kreuz gekürzt werden, d.h. der Zähler des einen darf mit dem Nenner des anderen Bruchs gekürzt werden.
Beispiel:
11/3 ⋅ 9/44 = 1/3 ⋅ 9/4 = 1/1 ⋅ 3/4
Bruchzahlen werden miteinander multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert.
𝑎/𝑏 ⋅ 𝑐/𝑑 = (𝑎 ⋅ 𝑐)/(𝑏 ⋅ 𝑑)
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
𝑎/𝑏 : 𝑐/𝑑 = 𝑎/𝑏 ⋅ 𝑑/𝑐
Aufgabe
Berechnen Sie.
a) 4/5 + 1/8 b) 2/7 – 3/5 b) 12/33 ⋅ 77/4 b) 45/26 : 9/13
Bruchzahlen, Dezimalzahlen, Prozente
Wir können die gleiche Zahl auf unterschiedliche Arten darstellen.
Bruchzahl:
Dezimalzahl:
Prozentsatz:
3/4
0.75
75%
Umwandlung: Bruchzahl zu Dezimalzahl
Die Umwandlung einer Bruchzahl 𝒂/𝒃 zur Dezimalzahl erfolgt durch schriftliche Division 𝒂 : 𝒃.
Geht die Division auf (z.B. 3/8 = 0.375), so erhalten wir einen endlichen Dezimalbruch.
Bricht die Division nicht ab (z.B. 5/11 = 0.454545…), so erhalten wir einen unendlichen, periodischen Dezimalbruch.
Umwandlung: Dezimalzahl zu Bruchzahl
Ist die Dezimalzahl abbrechend, so kann sie einfach als Bruch geschrieben werden. Ist 𝑛 die Anzahl Dezimalstellen nach dem Komma, so wird die Dezimalzahl als Bruch mit Nenner 1 geschrieben und mit 10𝑛 erweitert.
Beispiel:
3.45 = 3.45/1 = 345/100
Umwandlung: Dezimalzahl zu Prozentsatz
Prozent bedeutet „Hundertstel“ oder auch „von 100“ (pro centum (lat.), pour cent (franz.), per cento (ital.)). Man muss also nur die Dezimalzahl als Bruch auffassen und so erweitern, dass sie in Hundertsteln dargestellt wird.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
0.375 = 37.5/100 = 37.5%
0.454545… = 45.45…/100 = 45.4545…%
Aufgabe
Stellen Sie als Bruch, Dezimalzahl und Prozentsatz dar.
a) 32.5% b) 7/12 b) 0.121212…
Wissenschaftliche Schreibweise
In den Naturwissenschaften arbeitet man oft mit sehr grossen oder sehr kleinen Zahlen, zum Beispiel mit dem Abstand zwischen Erde und Mond. In der Normalform ausgedrückt beträgt der Abstand 384’400’000m.
Mit der wissenschaftlichen Schreibweise werden solche Zahlen kompakter dargestellt:
3.844 ⋅ 108
Im obigen Beispiel nennt man die Zahl 3.844 Mantisse. Die Mantisse hat vor dem Dezimalpunkt stets genau eine von null verschiedene Ziffer. Die Zahl 8 heisst Exponent. Die wissenschaftliche Darstellung besteht aus dem Produkt einer Dezimalzahl und einer Zehnerpotenz.
Bei grossen Zahlen ist der Exponent der Zehnerpotenz positiv und
beschreibt, um wie viele Stellen der Dezimalpunkt nach rechts verschoben wird.
Analoges gilt für kleine Zahlen. Hier ist der Exponent der Zehnerpotenz negativ und
beschreibt, um wie viele Stellen der Dezimalpunkt nach links verschoben wird.
0.000’234 = 2.34 ⋅ 10-4
Übersicht Zehnerpotenzen
| Zahlwort | Zehnerpotenz | Präfix |
| Billion | 1012 | Tera (T) |
| Milliarde | 109 | Giga (G) |
| Million | 106 | Mega (M) |
| Tausend | 103 | Kilo (k) |
| Hundert | 102 | Hekto (h) |
| Zehn | 101 | Deka (da) |
| Eins | 100 | – |
| Zehntel | 10-1 | Dezi (d) |
| Hundertstel | 10-2 | Zenti (c) |
| Tausendstel | 10-3 | Milli (m) |
| Millionstel | 10-6 | Mikro (μ) |
| Milliardstel | 10-9 | Nano (n) |
Beispiel: Eine Astronomische Einheit (1 AE) misst ca. 150’000’000’000m.
Zahl:
Zahlwort:
Wissenschaftliche Schreibweise:
Präfix:
150’000’000’000m
150 Milliarden Meter
1.5 ⋅ 1011 m
150 Gm
Aufgabe
Stellen Sie in der wissenschaftlichen Schreibweise dar.
a) 0.000’000’002’35 b) 984’300’000’000’000 c) 0.75 μm (in m)
MatheMagie Hofwil 