Die natürliche Zahlenmenge ist definiert als ℕ = {1, 2, 3, 4, …}.
Primfaktorzerlegung
Eine besondere Rolle unter den natürlichen Zahlen nehmen die Primzahlen ein.
Eine natürliche Zahl, die nur zwei Teiler hat, nämlich 1 und sich selbst, heisst Primzahl.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Man kann die Primzahlen als die Grundbausteine der natürlichen Zahlen auffassen, denn der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt:
Jede natürliche Zahl ist entweder selbst Primzahl oder lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Dieses Produkt nennt man Primfaktorzerlegung.
Folgendes systematische Vorgehen kann dazu genutzt werden, eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
- Starten Sie mit der kleinsten Primzahl 𝑝 = 2.
- Ist die Zahl durch die Primzahl teilbar, so ist ein Primfaktor gefunden. Ist die erhaltene Zahl erneut durch die Primzahl teilbar, so erhalten Sie weitere Primfaktoren.
- Gehen Sie zur nächsthöheren Primzahl.
- Fahren Sie fort mit Punkt 2.
Beispiel: 126 = 2 ⋅ 63 = 2 ⋅ 3 ⋅ 21 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7
Aufgabe
Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung.
a) 28
b) 81
c) 321
d) 1275
ggT und kgV
Mit der Primfaktorzerlegung ist es möglich, den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen schnell zu bestimmen. Dazu werden alle gemeinsamen Primfaktoren ausgewählt. Ihr Produkt ergibt den ggT.
20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
ggT(20, 30) = 2 ⋅ 5 = 10
Mit der Primfaktorzerlegung ist es auch möglich, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu bestimmen. Dazu werden alle vorkommenden Primfaktoren in der grössten vorkommenden Anzahl (Potenz) ermittelt. Ihr Produkt ist das kgV.
20 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5
30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
kgV(20, 30) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60
Aufgabe
Bestimmen Sie ggT und kgV von:
a) 42 und 60
b) 14 und 63
c) 14 und 33
MatheMagie Hofwil 